Родился в с. Переволочня Полтавского уезда Киевской губернии в дворянской семье, обрусевших сербов.
Образование получил в Московском университете.
В 1761 г. назначен надзирателем при университетских классах, с чином офицера, а через год переведен в комиссию торжественных приготовлений к коронованию Екатерины II с поручением сочинять надписи для триумфальных ворот.
В 1763 г. при личном участии княгини Е. Р. Дашковой, Богданович издает журнал "Невинное упражнение".
Литературную деятельность начал под руководством М. М. Хераскова. Был не чужд вольнодумных настроений (переводил Руссо, Вольтера, Гельвеция), примыкал к группе Никиты Панина, стремившейся к конституционной монархии.
Богданович — автор поэмы "Сугубое блаженство" (1765), сборника стихов "Лира" (1773), сборника "Русские пословицы" (1785), лирической комедии "Радость Душеньки" (1786), драмы "Славяне" (1788).
Наиболее известной стала поэма "Душенька" (1783), ознаменовавшая отход от классицизма и переход в сферу романтического классицизма.
Используя античную легенду об Амуре и Психее, Богданович внес в нее национальное содержание, придав своей героине (Душеньке) черты характера русской барышни, изобразив подробности, связанные с русским бытом.
Во всех ты, Душенька, нарядах хороша:
По образу ль какой царицы ты одета,
Пастушкою ль сидишь ты возле шалаша,
Во всех ты чудо света.
В 1798 г., выйдя в отставку при императоре Павле I, Богданович поселился в Курске, где жил на небольшую пенсию. Здесь он сразу оказался центром притяжения всех, кто интересовался литературой и искусством. Руководил образованием молодого артиста М. С. Щепкина.
Когда на престол взошел Александр I, Богданович стал подумывать о возобновлении своей деятельности в Академии, собирался переиздать свои сочинения.
Новому государю он послал оду "На случай коронования его императорского величества государя императора Александра Павловича...", написанную в Курске 15 сентября 1801 г., в которой славит государя, выражает уверенность, что отныне на троне "правда воцарится и ввеки мудрость водворится", предвещает под скипетром Александра Павловича расцвет и блаженство всей России.
Император, нуждавшийся в поддержке общественного мнения, милостиво принял оду и подарил автору перстень.
Богданович собирался возвратиться в Петербург, но болезнь и последовавшая за ней смерть помешали исполнить это намерение.
Умер в Курске, похоронен на Херсонском кладбище.
После похорон на его могиле установили небольшой надгробный камень. Долгое время захоронение находилось в запустении.
В 1834 г. на средства любителей словесности и губернатора П. Н. Демидова установили памятник, изображающий Психею, держащую сосуд со стигийским сном. Статуя Психеи (Душеньки)
из белого мрамора, представляла собой стройную женщину, фигура которой закутана в пышную тунику, ниспадающую легкими складками к ее ногам.
2 июня 1895 г. по инициативе Т. И. Вержбицкого памятник реставрировали и установили на бульваре Косаговского (ныне — территория парка им. 1 Мая).
Киевский мастер П. И. Островский изготовил новую фигуру Психеи, в основном повторяющую старую статую. Изготовили и новый пьедестал, на котором с трех сторон выгравировали стихотворные фрагменты из поэмы "Душенька".
В 1930-х гг. в Советское время, по указанию местных властей памятник снесли, скульптура утеряна, а пьедестал передали Курскому Краеведческому музею.
В 1950-е гг. пьедестал возвратили на могилу поэта, где он находится и поныне.